Des équations différentielles aux systèmes dynamiques I

Cet ouvrage est une introduction élémentaire à la théorie des équations
différentielles. Il est destiné à illustrer un cours classique sur les
équations différentielles dans le cadre d'une licence de mathématiques, mais
il peut également servir d'initiation aux notions de base indispensables aux
applications. Une première partie est consacrée à des pré- requis de calcul
différentiel et de topologie différentielle : définition des termes et notions
de base utilisées par la suite, concernant aussi bien le calcul différentiel
dans un espace euclidien que la topologie différentielle. La deuxième partie
est la matière d'un cours classique sur les équations différentielles. Les
champs linéaires et les propriétés générales des trajectoires sont donc
évidemment exposés. Mais, dans la tradition initiée par Henri Poincaré, on
insiste aussi sur les aspects qualitatifs du comportement des solutions, avec
l'introduction de la notion de flot d'un champ de vecteurs, qui joue un rôle
fondamental car elle sert de base à l'étude essentielle des propriétés de
récurrence et de stabilité des orbites. La notion d'application de Poincaré
d'une orbite périodique est développée et quelques résultats importants de la
théorie qualitative sont démontrés. Les lecteurs trouveront un développement
de cet ouvrage dans le tome II, publié dans la même collection (Vers la
théorie des systèmes dynamiques). Robert Roussarie, ancien élève de l'École
Polytechnique, a soutenu une thèse en mathématiques sur la théorie des
feuilletages. Il a été chercheur au CNRS puis professeur à l'Université de
Bourgogne. Il est un spécialiste des équations différentielles (bifurcations
des champs de vecteurs du plan, 16e problème de Hilbert, systèmes lents-
rapides en dimension 2). Jean Roux a soutenu une thèse en mathématiques à
l'Université de Paris. Il a été ingénieur-chercheur aux Études et Recherches
de l'EDF et maître de conférences en analyse numérique aux Ponts et Chaussées.
Il est actuellement enseignant en mathématiques appliquées au département
Géosciences de l'ENS.